(gcdとlcmの関係)ARC-050-C-LCM 111

問題URL→http://arc050.contest.atcoder.jp/tasks/arc050_c

最小公倍数(lcm)とあるので、まず次の公式は考えないといけない。

lcm(x,y) = (xy)/gcd(x,y)

この式が1ステップ目。
よってgcd(x,y)をまず考える。

1をN個ならべてできる整数をone(N)とする。(こういう簡略化定義大事)
よって次の値を考える

gcd(one(A), one(B)) = gcd(one(B), one(A) % one(B))

ここでone(A) % one(B) = one(A % B)

以下略(めんどくなった。公式解説みよう)

ポイントだけ

1001001001001のような数列は

a_1 = 1, a_(k+1) = 10^D ・a_k + 1の第B/D項

あとは解説通り行列累乗する。
今回初めて行列累乗をちゃんと理解して実装した。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string.h>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <assert.h>
#include <sstream>
#include <bitset>
#define REP(i,n) for(ll i=0;i<(n);i++)
#define MOD 1000000007
#define int long long
#ifdef int
const long long INF = LLONG_MAX / 10;
#else
const int INF = 1010101010;
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<vector<ll>> mat;
typedef pair<int, int> P;
//typedef pair<double, double> P;

int AA, BB, MM;

//行列A,Bの積ABを返す
mat mul(mat &A, mat &B)
{
    mat C(A.size(), vector<ll>(B[0].size()));
    REP(i,A.size()) {
        REP(j,B[0].size()) {
            REP(k,B.size()) {
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
                C[i][j] %= MM;
            }
        }
    }
    return C;
}

//行列AのA^nを返す ※行数列数は同じ
mat ppow(mat &A, ll n)
{
    mat B(A.size(), vector<ll>(A.size()));
    //REP(i,A.size()) B[i][i] = (1LL << 60) - 1;
    REP(i,A.size()) B[i][i] = 1LL;
    while (n) {
        if (n & 1) B = mul(B, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return B;
}

int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

//(x^n)%modを求める
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
    ll res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

signed main()
{
    cin >> AA >> BB >> MM;

    mat A(2, vector<ll>(2));
    A[0][0] = 10LL; A[0][1] = 1LL;
    A[1][0] = 0LL;  A[1][1] = 1LL;
    A = ppow(A, AA - 1);

    int oneA = A[0][0]*1LL + A[0][1]*1LL;
    oneA %= MM;

    int D = gcd(AA, BB);
    mat B(2, vector<ll>(2));
    B[0][0] = mod_pow(10LL, D, MM); B[0][1] = 1LL;
    B[1][0] = 0LL;                            B[1][1] = 1LL;
    B = ppow(B, BB/D - 1);

    int oneBD = B[0][0]*1LL + B[0][1]*1LL;
    oneBD %= MM;

    cout << ((oneA * oneBD) % MM) << endl;
}

(セグメント木・行列積)yukicoder-No.510-二次漸化式

問題URL→https://yukicoder.me/problems/no/510

クエリで要素が書き換わる行列の積を高速に計算できればとける。
ノードに行列を持たせたセグメント木を作ることによりそれが可能となる。

#include <bits/stdc++.h>
#define FOR(i,bg,ed) for(ll i=(bg);i<(ed);i++)
#define REP(i,n) FOR(i,0,n)
#define REP1(i,n) for(ll i=1;i<=(n);i++)
#define MOD 1000000007
#define int long long
#define all(c) (c).begin(), (c).end()
#define uniq(c) c.erase(unique(all(c)), (c).end())
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> P;
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
const int INF = 1e9;

//行列Aと行列Bの積を返す
mat f(mat A, mat B)
{
    mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
    REP(i,A.size()) REP(j,B[0].size()) {
        REP(k,A[0].size()) {
            C[i][j] += (A[i][k] * B[k][j]) % MOD;
            C[i][j] %= MOD;
        }
    }
    return C;
}

mat defvalue(4, vec(4)), defvalue2(4, vec(4));

class SegTree
{
private:
    int n;
    vector<mat> val;

public:
    SegTree(int size)
    {
        n = 1;
        while (n < size) n <<= 1;
        val = vector<mat>(2 * n, defvalue);
    }

    void update(int q, int i, int a)
    {
        i += n - 1;
        if (q == 0) {
            val[i][0][2] = a;
        } else {
            val[i][1][1] = a;
            val[i][2][1] = 2 * a;
            val[i][2][2] = a * a % MOD;
        }
        while (i > 0) {
            i = (i - 1) / 2;
            val[i] = f(val[i * 2 + 2],val[i * 2 + 1]);
        }
    }

    mat query(int a, int b, int k = 0, int l = 0, int r = - 1)
    {
        if (r == -1) r = n;
        if (r <= a || b <= l) return defvalue2;
        if (a <= l && r <= b) return val[k];
        else return f(query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r),
                      query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2));
    }
};

int n, q;

signed main()
{
    cin >> n >> q;

    defvalue[0][0] = defvalue[1][3] = defvalue[2][3] = defvalue[3][3] = 1;
    defvalue2[0][0] = defvalue2[1][1] = defvalue2[2][2] = defvalue2[3][3] = 1;

    SegTree st(n + 1);
    while (q--) {
        int a, b;
        char c;

        cin >> c;
        if (c == 'x') {
            cin >> a >> b;
            st.update(0, a, b);
        } else if (c == 'y') {
            cin >> a >> b;
            st.update(1, a, b);
        } else if (c == 'a') {
            cin >> a;
            mat t = st.query(0, a);
            cout << (t[0][0]+t[0][1]+t[0][2]+t[0][3]) % MOD << endl;
        }
    }
}