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線形空間(ベクトル空間)

作成日時:2019年7月6日(土) 7時40分
更新日時:2019年7月7日(日) 7時05分

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線形空間(ベクトル空間)の定義

※「線形代数 キャンパス・ゼミ 馬場敬之著」より
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集合\$ \\boldsymbol{V} \$が次の条件を満たす時、Vを線形空間またはベクトル空間という。
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集合\$ \\boldsymbol{V} \$の任意の元\$ \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \$に対して
(Ⅰ)和\$ \\quad \\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{b} \$
(Ⅱ)スカラー倍\$ \\quad k \\boldsymbol{a} \$ (\$ k \$:実数)
が\$ \\boldsymbol{V} \$の元となるように定義され、それぞれ次の性質を満たす時、\$ \\boldsymbol{V} \$を実数全体\$ \\boldsymbol{R} \$上の線形空間(ベクトル空間)と言う。
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(Ⅰ)和の性質
1.結合法則:\$ (\\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{b}) + \\boldsymbol{c} = \\boldsymbol{a} + (\\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{c}) \$
2.交換法則:\$ \\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{b} = \\boldsymbol{b} + \\boldsymbol{a} \$
3.零ベクトルの存在:\$ \\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{0} = \\boldsymbol{0} + \\boldsymbol{a} = \\boldsymbol{a} \$を満たすただ1つの元\$ \\boldsymbol{0} \$が存在する。
4.逆元の存在:\$ \\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{x} + \\boldsymbol{a} = \\boldsymbol{0} \$を満たすただ1つの元\$ \\boldsymbol{x} \$が存在する。\$ \\boldsymbol{x} \$を\$ \\boldsymbol{a} \$の逆元といい、\$ \\boldsymbol{x} = - \\boldsymbol{a} \$で表す。
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(Ⅱ)スカラー倍の性質
\$k,l\$は実数とする
5.\$ \\quad 1 \\cdot \\boldsymbol{a} = \\boldsymbol{a} \$
6.\$ \\quad k(\\boldsymbol{a} + \\boldsymbol{b}) = k \\boldsymbol{a} + k \\boldsymbol{b} \$
7.\$ \\quad (k+l) \\boldsymbol{a} = k \\boldsymbol{a} + l \\boldsymbol{a} \$
8.\$ \\quad (kl) \\boldsymbol{a} = k(l \\boldsymbol{a}) \$


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