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部分空間の定義と条件、生成する部分空間

作成日時:2019年7月6日(土) 7時40分
更新日時:2019年7月6日(土) 7時40分
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※「線形代数 キャンパス・ゼミ 馬場敬之著」より

部分空間の定義

線形空間\$ \\boldsymbol{V} \$の\$ \\phi \$(空集合)でない部分集合\$ \\boldsymbol{W} \$が、\$ \\boldsymbol{V} \$と同じく和とスカラー倍の演算に対して、線形空間になっているとき、\$ \\boldsymbol{W} \$を\$ \\boldsymbol{V} \$の部分空間または線形部分空間と呼ぶ。

部分空間の条件(Ⅰ)

線形空間\$ \\boldsymbol{V} \$の\$ \\phi \$でない部分集合\$ \\boldsymbol{W} \$が、部分空間となるための必要十分条件は、次の2つである。
(1)\$ \\boldsymbol{x}, \\boldsymbol{y} \\in \\boldsymbol{W} \\quad \$ならば\$ \\quad \\boldsymbol{x} + \\boldsymbol{y} \\in \\boldsymbol{W} \$
(2)\$ \\boldsymbol{x} \\in \\boldsymbol{W} , c \\in \\boldsymbol{R} \\quad \$ならば\$ \\quad c \\boldsymbol{x} \\in \\boldsymbol{W} \$

もしくはさらに簡単な条件として、次のような条件にまとめられる。

部分空間の条件(Ⅱ)

線形空間\$ \\boldsymbol{V} \$の\$ \\phi \$でない部分集合\$ \\boldsymbol{W} \$が部分空間となるための必要十分条件は、次の通りである。

任意の\$ \\boldsymbol{x} , \\boldsymbol{y} \\in \\boldsymbol{W} \$と任意の\$ \\lambda , \\mu \\in \\boldsymbol{R} \$に対して、\$ \\lambda \\boldsymbol{x} + \\mu \\boldsymbol{y} \\in \\boldsymbol{W} \$

部分空間の例

線形空間\$ \\boldsymbol{V} \$の元\$ \\boldsymbol{a_1}, \\boldsymbol{a_2}, \\ldots , \\boldsymbol{a_k}, \$の線形結合全体は、\$ \\boldsymbol{V} \$の部分空間\$ \\boldsymbol{W} \$になる:
$ \\boldsymbol{W} = \\{ \\boldsymbol{x} \\mid \\boldsymbol{x} = c_1 \\boldsymbol{a_1} + c_2 \\boldsymbol{a_2} + \\ldots + c_k \\boldsymbol{a_k} , \\ c_1, c_2, \\ldots , c_k \\in \\boldsymbol{R} \\} $

生成する部分空間

\$ \\boldsymbol{a}_1, \\boldsymbol{a}_2, \\ldots , \\boldsymbol{a}_r \\in \\boldsymbol{R}^n \$とするとき、\$ \\boldsymbol{a}_1, \\boldsymbol{a}_2, \\ldots , \\boldsymbol{a}_r \$の1次結合全体からなる集合

$ \\boldsymbol{W} = \\{ x_1 \\boldsymbol{a}_1 + x_2 \\boldsymbol{a}_2 + \\ldots + x_r \\boldsymbol{a}_r \\mid x_1, x_2, \\ldots , x_r \\in \\boldsymbol{R} \\} $
は\$ \\boldsymbol{R}^n \$の部分空間となる。
この部分空間\$ \\boldsymbol{W} \$を\$ \\boldsymbol{a}_1, \\boldsymbol{a}_2, \\ldots , \\boldsymbol{a}_r \$の生成する部分空間または張る部分空間といい、\$ \\langle \\boldsymbol{a}_1, \\boldsymbol{a}_2, \\ldots , \\boldsymbol{a}_r \\rangle \$で表す。

$ \\langle \\boldsymbol{a}_1, \\boldsymbol{a}_2, \\ldots , \\boldsymbol{a}_r \\rangle = \\{ x_1 \\boldsymbol{a}_1 + x_2 \\boldsymbol{a}_2 + \\ldots + x_r \\boldsymbol{a}_r \\mid x_1, x_2, \\ldots , x_r \\in \\boldsymbol{R} \\} $

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