TOP 行列式

行列式

作成日時:2019年7月6日(土) 7時40分
更新日時:2019年7月7日(日) 7時04分

1次、2次、3次の行列式


1次の行列式


行列\$ A = \\begin{bmatrix} a \\end{bmatrix} \$の行列式\$ |A| \$は\$ |A| = a \$

2次の行列式


行列
$ B = \\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix} $
の行列式\$ |B| \$は
$ |B| = \\begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{vmatrix} = ad - bc $

3次の行列式(サラスの公式)


行列
$ C = \\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{bmatrix} $
の行列式\$ |C| \$は
$ \\begin{align} |C| &= \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{vmatrix} \\\\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\\\ & \\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \\end{align} $


行列式の定義

行列Aを
$ \\begin{eqnarray} A = \\begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \\ldots & a_{ 1n } \\\\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \\ldots & a_{ 2n } \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \\ldots & a_{ nn } \\end{bmatrix} \\end{eqnarray} $

とした時、行列式\$ |A| \$は

$ |A| = \\sum sgn \\left( \\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & \\ldots & n \\\\ i_1 & i_2 & i_3 & \\ldots & i_n \\end{array} \\right) a_{1i_1} a_{2i_2} a_{3i_3} \\ldots a_{ni_n} $

と定義される。
1次、2次、3次の行列式はこの定義から導くことができる。
-
この定義の説明は次の記事でしています。
行列式の定義を理解するための置換の知識
-
この定義から分かるように\$ \\sum \$を展開した時の項数が\$ n! \$個なので、\$ n \\geq 4 \$は手計算ではきつい。
-
そこで、\$ n \\geq 4 \$の行列式を手計算でも求められるテクニックを学んで行く。
-
※行列式は正方行列に対して定義される。


行列式の性質


性質1\$ \\quad |A| = | {}^t \\! A | \$

この性質により、以降の行列式の性質について「行で言えることは、列にも言える」。

性質2 多重線形性(1)

$ \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{k1} + b_{k1} & a_{k2} + b_{k2} & \\ldots & a_{kn} + b_{kn} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\end{vmatrix} \\\\ = \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \\ldots & a_{kn} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\end{vmatrix} + \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ b_{k1} & b_{k2} & \\ldots & b_{kn} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\end{vmatrix} $

性質3 多重線形性(2)

$ \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ ca_{k1} & ca_{k2} & \\ldots & ca_{kn} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\end{vmatrix} \\\\ = c \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\ldots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\ldots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{k1} & a_{k2} & \\ldots & a_{kn} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\ldots & a_{nn} \\end{vmatrix} $

-

※性質2と性質3は多重線形性という。「多重」とは、どの行についても成り立つことからきている。

余因子


定義

n次の正方行列Aの\$ (i,j) \$成分\$ a_{ij} \$を中心に第\$ i \$行と第\$ j \$列を取り除いた\$ (n-1) \$次の行列式を作り、それに\$ (-1)^{i+j} \$を掛けたものを行列Aの\$ (i,j) \$余因子といい\$ A_{ij} \$で表す。
-
教科書によっては\$ (i,j) \$余因子を\$ \\tilde{a}_{ij} \$と書いているものもある。

例1(例示は理解の試金石)

行列Aを
$ A = \\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\\\ a_{21} & a_{22_*} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\end{bmatrix} $
とすると、この行列Aの\$ (2,2) \$余因子\$ A_{22} \$は
$ A_{22} = (-1)^{2+2} \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\\\ a_{31} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\\\ a_{41} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\end{vmatrix} $
と表せる。

例2(例示は理解の試金石)

行列Bを
$ B = \\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 4 & 1 & 3 \\end{bmatrix} $
とした時、
$ \\begin{align} B_{12} &= (-1)^{1+2} \\begin{vmatrix} 2 & 1 \\\\ 4 & 3 \\end{vmatrix} \\\\ &= (-1)(2 \\cdot 3 - 1 \\cdot 4 ) \\\\ &= -2 \\end{align} $



最新記事

ツイッターオートフォロースクリプト書いてみた
スマートスピーカーAI開発日誌 その1
機械学習のブログまとめ