やみとものプログラミング日記

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行列式

1次、2次、3次の行列式

1次の行列式

行列$ A = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} $の行列式$ |A| $は$ |A| = a $

2次の行列式

行列
$ B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $
の行列式$ |B| $は
$ |B| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $

3次の行列式(サラスの公式)

行列
$ C = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $
の行列式$ |C| $は
$ \begin{align} |C| &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & \quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{align} $

行列式の定義

行列Aを
$ \begin{eqnarray} A = \begin{bmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{bmatrix} \end{eqnarray} $
とした時、行列式$ |A| $は
$ |A| = \sum sgn \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & i_3 & \ldots & i_n \end{array} \right) a_{1i_1} a_{2i_2} a_{3i_3} \ldots a_{ni_n} $
と定義される。
1次、2次、3次の行列式はこの定義から導くことができる。

この定義の説明は次の記事でしています。
行列式の定義を理解するための置換の知識

この定義から分かるように$ \sum $を展開した時の項数が$ n! $個なので、$ n \geq 4 $は手計算ではきつい。

そこで、$ n \geq 4 $の行列式を手計算でも求められるテクニックを学んで行く。

※行列式は正方行列に対して定義される。

行列式の性質

性質1$ \quad |A| = | {}^t \! A | $

この性質により、以降の行列式の性質について「行で言えることは、列にも言える」。

性質2 多重線形性(1)

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} + b_{k1} & a_{k2} + b_{k2} & \ldots & a_{kn} + b_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{k1} & b_{k2} & \ldots & b_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $

性質3 多重線形性(2)

$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ca_{k1} & ca_{k2} & \ldots & ca_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ = c \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \ldots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} $

※性質2と性質3は多重線形性という。「多重」とは、どの行についても成り立つことからきている。

余因子

定義

n次の正方行列Aの$ (i,j) $成分$ a_{ij} $を中心に第$ i $行と第$ j $列を取り除いた$ (n-1) $次の行列式を作り、それに$ (-1)^{i+j} $を掛けたものを行列Aの$ (i,j) $余因子といい$ A_{ij} $で表す。

教科書によっては$ (i,j) $余因子を$ \tilde{a}_{ij} $と書いているものもある。

例1(例示は理解の試金石)

行列Aを
$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22_*} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \end{bmatrix} $
とすると、この行列Aの$ (2,2) $余因子$ A_{22} $は
$ A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \end{vmatrix} $
と表せる。

例2(例示は理解の試金石)

行列Bを
$ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix} $
とした時、
$ \begin{align} B_{12} &= (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} \\ &= (-1)(2 \cdot 3 - 1 \cdot 4 ) \\ &= -2 \end{align} $

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