やみとものプログラミング日記

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線形空間の基底の定義

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※「線形代数 キャンパス・ゼミ 馬場敬之著」より

線形空間$ \boldsymbol{V} $の元の組$ \{ \boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \ldots, \boldsymbol{a_n} \} $が次の2つの性質を満たす時、これを$ \boldsymbol{V} $の基底と呼ぶ。

(i)$ \boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \ldots, \boldsymbol{a_n} $は線形独立である。
(ii)$ \boldsymbol{V} $の任意の元$ \boldsymbol{x} $は、$ \boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \ldots, \boldsymbol{a_n} $の線形結合で表せる。

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