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線形空間(ベクトル空間)

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線形空間(ベクトル空間)の定義

※「線形代数 キャンパス・ゼミ 馬場敬之著」より

集合$ \boldsymbol{V} $が次の条件を満たす時、Vを線形空間またはベクトル空間という。

集合$ \boldsymbol{V} $の任意の元$ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $に対して
(Ⅰ)和$ \quad \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $
(Ⅱ)スカラー倍$ \quad k \boldsymbol{a} $ ($ k $:実数)
が$ \boldsymbol{V} $の元となるように定義され、それぞれ次の性質を満たす時、$ \boldsymbol{V} $を実数全体$ \boldsymbol{R} $上の線形空間(ベクトル空間)と言う。

(Ⅰ)和の性質
1.結合法則:$ (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) $
2.交換法則:$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} $
3.零ベクトルの存在:$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a} $を満たすただ1つの元$ \boldsymbol{0} $が存在する。
4.逆元の存在:$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} + \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} $を満たすただ1つの元$ \boldsymbol{x} $が存在する。$ \boldsymbol{x} $を$ \boldsymbol{a} $の逆元といい、$ \boldsymbol{x} = - \boldsymbol{a} $で表す。

(Ⅱ)スカラー倍の性質
$k,l$は実数とする
5.$ \quad 1 \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a} $
6.$ \quad k(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = k \boldsymbol{a} + k \boldsymbol{b} $
7.$ \quad (k+l) \boldsymbol{a} = k \boldsymbol{a} + l \boldsymbol{a} $
8.$ \quad (kl) \boldsymbol{a} = k(l \boldsymbol{a}) $

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