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部分空間の定義と条件、生成する部分空間

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※「線形代数 キャンパス・ゼミ 馬場敬之著」より

部分空間の定義

線形空間$ \boldsymbol{V} $の$ \phi $(空集合)でない部分集合$ \boldsymbol{W} $が、$ \boldsymbol{V} $と同じく和とスカラー倍の演算に対して、線形空間になっているとき、$ \boldsymbol{W} $を$ \boldsymbol{V} $の部分空間または線形部分空間と呼ぶ。

部分空間の条件(Ⅰ)

線形空間$ \boldsymbol{V} $の$ \phi $でない部分集合$ \boldsymbol{W} $が、部分空間となるための必要十分条件は、次の2つである。
(1)$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{W} \quad $ならば$ \quad \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{W} $
(2)$ \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{W} , c \in \boldsymbol{R} \quad $ならば$ \quad c \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{W} $

もしくはさらに簡単な条件として、次のような条件にまとめられる。

部分空間の条件(Ⅱ)

線形空間$ \boldsymbol{V} $の$ \phi $でない部分集合$ \boldsymbol{W} $が部分空間となるための必要十分条件は、次の通りである。

任意の$ \boldsymbol{x} , \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{W} $と任意の$ \lambda , \mu \in \boldsymbol{R} $に対して、$ \lambda \boldsymbol{x} + \mu \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{W} $

部分空間の例

線形空間$ \boldsymbol{V} $の元$ \boldsymbol{a_1}, \boldsymbol{a_2}, \ldots , \boldsymbol{a_k}, $の線形結合全体は、$ \boldsymbol{V} $の部分空間$ \boldsymbol{W} $になる:
$ \boldsymbol{W} = \{ \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{a_1} + c_2 \boldsymbol{a_2} + \ldots + c_k \boldsymbol{a_k} , \ c_1, c_2, \ldots , c_k \in \boldsymbol{R} \} $

生成する部分空間

$ \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \ldots , \boldsymbol{a}_r \in \boldsymbol{R}^n $とするとき、$ \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \ldots , \boldsymbol{a}_r $の1次結合全体からなる集合

$ \boldsymbol{W} = \{ x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \ldots + x_r \boldsymbol{a}_r \mid x_1, x_2, \ldots , x_r \in \boldsymbol{R} \} $
は$ \boldsymbol{R}^n $の部分空間となる。
この部分空間$ \boldsymbol{W} $を$ \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \ldots , \boldsymbol{a}_r $の生成する部分空間または張る部分空間といい、$ \langle \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \ldots , \boldsymbol{a}_r \rangle $で表す。

$ \langle \boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \ldots , \boldsymbol{a}_r \rangle = \{ x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \ldots + x_r \boldsymbol{a}_r \mid x_1, x_2, \ldots , x_r \in \boldsymbol{R} \} $

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