やみとものプログラミング日記

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標本空間と確率変数

標本空間

定義を一言で言うと

起こりうる全ての結果からなる集合

定義(スッキリわかる確率統計)

実験や観測を行うとき、起こりうるすべての結果からなる集合を標本空間といい、これを$ \Omega $や$ U $で表すことが多い。また、標本空間$ \Omega $の中の各結果を根元事象という。

事象、根元事象、確率分布の定義

「事象」の定義を一言で言うと

標本空間の部分集合

「根元事象」の定義を一言で言うと

標本空間の要素

「確率分布」の定義を一言で言うと

事象から確率を得る関数

確率変数

定義(数学ガール)

確率変数は、標本空間$ \Omega $から実数$ \mathbb{R} $への関数である。

定義(スッキリわかる確率統計)

試行の結果に応じていろいろな値をとる変数$ X $が考えられ、変数$ X $がある値をとる場合の確率が定まるとき、$ X $を確率変数という。また、確率変数が離散的な値(とびとびの値)をとるとき離散型確率変数といい、連続的な値をとるとき連続型確率変数という。

サイコロを投げる場合を考える。標本空間$ \Omega $は次のようになる。
$ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} $
出た目の2乗の10分の1を対応させる確率変数
$ X(\omega) = \frac{\omega^2}{10} $
を考えると確率変数$ X $は、例えば$ 0.9 $という値を$ \frac{1}{6} $の確率で取る確率変数と言える。

この場合$ 0.1, 0.4, 0.9, 1.6, 2.5, 3.6 $を同じ$ \frac{1}{6} $の確率で取る確率変数だが、確率が異なり、取りやすい値とそうでない値がある確率変数も考えられる。


※間違いなどありましたらコメントで教えていただけると幸いです。

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